题目内容
【题目】如下图,在三棱锥中,
,
,
为
的中点.
(1)求证: ;
(2)设平面平面
,
,
,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2) 二面角的正弦值为
【解析】试题分析:(1) 设的中点为
,连接
,由
可证
平面
,进而可得
;(2)
两两互相垂直,可建立空间直角坐标系,分别求出平面
的一个法向量和平面
的一个法向量,再利用空间两向量夹角余弦公式求出二面角的余弦,进而求的正弦.
试题解析:(1)设的中点为
,连接
,∵
,∴
,
又∵为
的中点,∴
,∵
,∴
.
∵,∴
平面
,
又∵平面
,
∴.
(2)由(1)知: ,
,
∵平面平面
,
平面平面
平面
,
∴平面
,∵
平面
,
∴,∴
两两互相垂直.
∵,∴
.
由为
的中点,
得
,
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,则
,
∴.
设平面的一个法向量为
,则
.
∴,取
,解得
,
∴是平面
的一个法向量.
同理可求平面的一个法向量
.
设二面角的大小为
,则
,
∵,∴
,
∴二面角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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