Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为 （φ为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程及曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线C1 ， C2交于O，A两点，过O点且垂直于OA的直线与曲线C1 ， C2交于M，N两点，求|MN|的值．

Answer 1

【答案】解：（I）曲线C1的参数方程为 （φ为参数）， 利用平方关系可得：（x﹣1）2+y2=1，化为x2+y2﹣2x=0．
利用互化公式可得：曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ，可得：ρ2=ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=y．
（II）联立 ，可得tanθ=2，设点A的极角为θ，则tanθ=2，可得sinθ= ，cosθ= ，
则M ，代入ρ=2cosθ，可得：ρ1=2cos =2sinθ= ．
N ，代入ρ=sinθ，可得：ρ2=sin =cosθ= ．
可得：|MN|=ρ1+ρ2=
【解析】（I）曲线C1的参数方程为 （φ为参数），利用平方关系可得普通方程．利用互化公式可得：曲线C1的极坐标方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ，可得：ρ2=ρsinθ，利用互化公式可得：曲线C2的直角坐标方程． （II）联立 ，可得tanθ=2，设点A的极角为θ，则tanθ=2，可得sinθ= ，cosθ= ，则M ，代入ρ=2cosθ，可得：ρ1 ． N ，代入ρ=sinθ，可得：ρ2 ． 可得：|MN|=ρ1+ρ2 ．