Question

5．在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-2}}$=（-1）ⁿ•2（n≥3）．求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 由题意可得数列{a_n}的奇数项构成以1为首项，以-2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列．然后对n分类求得{a_n}的前n项和S_n．

解答 解：由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-2}}$=（-1）ⁿ•2（n≥3），得：
当n为奇数时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-2}}=-2$；当n为偶数时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-2}}=2$．
∴数列{a_n}的奇数项构成以1为首项，以-2为公比的等比数列，
偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列．
∴当n为奇数时，S_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（a₂+a₄+…+a_n-1）
=$\frac{1-（-2）^{\frac{n+1}{2}}}{1+2}+\frac{2（1-{2}^{\frac{n-1}{2}}）}{1-2}$=${2}^{\frac{n+1}{2}}-\frac{1}{3}[（-2）^{\frac{n+1}{2}}+5]$；
当n为偶数时，S_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n）
=$\frac{1-（-2）^{\frac{n}{2}}}{1+2}+\frac{2（1-{2}^{\frac{n}{2}}）}{1-2}$=${2}^{\frac{n+2}{2}}-\frac{1}{3}[（-2）^{\frac{n}{2}}+5]$．
∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n+1}{2}}-\frac{1}{3}[（-2）^{\frac{n+1}{2}}+5]，n为奇数}\\{{2}^{\frac{n+2}{2}}-\frac{1}{3}[（-2）^{\frac{n}{2}}+5]，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．