Question

12．求证：在等差数列中，若S_m=p，S_p=m（m≠p），则S_m+p=-（m+p）

Answer 1

分析 由已知列式，把a₁用含有d的代数式表示，再代入等差数列的前n项和，整体运算得答案．

解答 证明：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由S_m=P，得$m{a}_{1}+\frac{m（m-1）d}{2}=p$ ①
由S_p=m，得$p{a}_{1}+\frac{p（p-1）d}{2}=m$ ②
①-②得，$（m-p）{a}_{1}+\frac{{m}^{2}d-md-{p}^{2}d+pd}{2}=p-m$，
即$（m-p）{a}_{1}+\frac{（m-p）（m+p-1）d}{2}=p-m$，
∴${a}_{1}=-\frac{（m+p-1）d}{2}-1$．
∴S_m+p=$（m+p）{a}_{1}+\frac{（m+p）（m+p-1）d}{2}$
=$-\frac{（m+p）（m+p-1）d}{2}-（m+p）+\frac{（m+p）（m+p-1）d}{2}$=-（m+p）．

点评 本题考查等差数列的前n项和，考查学生的整体运算能力，是中档题．