Question

【题目】已知数列{an}中，a1=1，a2=3对任意n∈N* ， an+2≤an+32n ， an+1≥2an+1都成立，则a2016=
．

Answer 1

【答案】22016﹣1
【解析】解：∵an+1≥2an+1，
∴an+1≥2an+1≥22an﹣1+2+1≥23an﹣2+22+2+1≥…≥2na1+2n﹣1+2n﹣2+…+2+1= =2n+1﹣1，
∴ ﹣1．（n=1时也成立）．
由对任意n∈N* ， an+2≤an+32n ， 即an+2﹣an≤32n ，
∴a3﹣a1≤3×2，
a4﹣a2≤3×22 ，
…，
an﹣2﹣an﹣4≤3×2n﹣4
an﹣1﹣an﹣3≤3×2n﹣3 ，
an﹣an﹣2≤3×2n﹣2 ，
an+1﹣an﹣1≤3×2n﹣1 ．
∴an+1+an≤1+3+3×2+3×22+…+3×2n﹣2+3×2n﹣1=1+3× =3×2n﹣2．（n≥2）．
∵an+1≥2an+1，
∴3an+1≤3×2n﹣2．
∴an≤2n﹣1．
∴2n﹣1≤an≤2n﹣1，
∴an=2n﹣1．
∴a2016=22016﹣1．
所以答案是：22016﹣1．
【考点精析】利用数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．