Question

【题目】如图，在三棱椎P﹣ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2 ．

（1）求证：平面ABC⊥平面APC．
（2）若动点M在底面三角形ABC内（包括边界）运动，使二面角M﹣PA﹣C的余弦值为 ，求此时∠MAB的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AC中点O，连结OP，OB，

∵AP=CP，∴OP⊥OC，

∵在三棱椎P﹣ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2 ，

∴OP=2 ，OB=2，PB=4，∴PB2=OP2+OB2，△POB是直角三角形，

∴OP⊥OB，

又OC与OB交于点O，∴OP⊥平面APC．

（2）解：以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

A（0，﹣2，0），B（2，0，0），P（0，0，2 ），

平面PAC的法向量 =（1，0，0），

设平面PAM的法向量 =（x，y，z），M（m，n，0），

∴ =（0，2，2 ）， =（m，n+2，0），

则 ，取z=﹣1，得 =（ ），

∵二面角M﹣PA﹣C的余弦值为 ，

∴|cos＜ ＞|= = = ，

整理，得（n+2）2=9m2，

∴n+2=3m或n+2=﹣3m（舍），

∴cos∠MAB= = = = ．

【解析】（1）取AC中点O，连结OP，OB，推导出OP⊥OC，OP⊥OB，由此能证明OP⊥平面APC．（2）以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出∠MAB的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．