Question

7．某几何体的一条棱长为m，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为4的线段．在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，若a+b=6，则m的最小值为$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 根据三视图的定义，构造一个长方体，利用长方体的边长关系进行求解即可．

解答 解：设几何体的棱为AB，则AB=m，
在长方体中，BD为正投影，
BE为侧视图中的投影，
AC为俯视图中的投影，
则BD=4，BE=a，AC=b且满足a+b=6，
设AE=x，CE=y，BC=z，
则满足x²+y²+z²=m²，
x²+y²=b²，①y²+z²=a²，②x²+z²=16，③，
三式相加得2（x²+y²+z²）=a²+b²+16，
即2m²=a²+b²+16=（a+b）²+16-2ab=36+16-2ab=52-2ab，
∵6=a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴ab≤9，-ab≥-9，
则2m²=52-2ab≥52-18=34，
即m²≥17，
则m≥$\sqrt{17}$，当且仅当a=b=2时，取等号，
故m的最小值为$\sqrt{17}$，
故答案为：$\sqrt{17}$．

点评 本题主要考查空间三视图的应用以及利用基本不等式进行求解最值问题，根据条件构造一个长方体是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．