Question

16．已知sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，双曲线x²sinθ+y²cosθ=1的焦点在y轴上，则双曲线C的离心率e=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 由同角的平方关系，结合双曲线的焦点在y轴上，可得cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=-$\frac{3}{5}$，求得双曲线的标准方程，以及a，b，c，由离心率公式，计算即可得到．

解答 解：由sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，sin²θ+cos²θ=1，
可得sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=-$\frac{3}{5}$或cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=-$\frac{3}{5}$，
由双曲线x²sinθ+y²cosθ=1的焦点在y轴上，
取cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=-$\frac{3}{5}$，
可得$\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{5}{3}}$=1，
即有a²=$\frac{5}{4}$，b²=$\frac{5}{3}$，c²=$\frac{35}{12}$，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{35}{12}×\frac{4}{5}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．