Question

12．如图，在直三棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AA₁=4，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由线面垂直得C₁C⊥AC，由直角性质得AC⊥BC，从而得到AC⊥平面BCC₁，由此能证明AC⊥BC₁．
（Ⅱ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）由$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，4），利用向量法能求出异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵在直三棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴C₁C⊥AC，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵C₁C∩BC=C，∴AC⊥平面BCC₁，
∵BC₁?平面BCC₁，∴AC⊥BC₁．
（Ⅱ）证明：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得A（3，0，0），C₁（0，0，4），C（0，0，0），B（0，4，0），
D（$\frac{3}{2}$，2，0），B₁（0，4，4），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{3}{2}，2，0$），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，4），
设平面CDB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+4z=0}\end{array}\right.$，取x=4，得$\overrightarrow{n}$=（4，-3，3），
∵$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}$=-12+0+12=0，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）解：∵$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，4），
设异面直线AC₁与B₁C所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{C{B}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{C{B}_{1}}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{C{B}_{1}}|}$|=|$\frac{16}{5×4\sqrt{2}}$|=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，
∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．