题目内容
6.设M是△ABC的重心,若A=$\frac{π}{3}$,$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3$,则$|\overrightarrow{AM}|$的最小值为$\sqrt{2}$.分析 由A=$\frac{π}{3}$,$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3$,可求得|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=6,由点M是△ABC的重心,得$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$,两边平方后利用不等式求得最值.
解答 解:∵A=$\frac{π}{3}$,$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3$,
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos$\frac{π}{3}$=3,即|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=6,
由点M是△ABC的重心,∴$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$,
∴$|\overrightarrow{AM}{|}^{2}=\frac{1}{9}(|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2})$=$\frac{1}{9}(|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+6)$
$≥\frac{1}{9}(2|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|+6)$=$\frac{1}{9}$(2×6+6)=2,
∴|$\overrightarrow{AM}$|≥$\sqrt{2}$,当且仅当|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{6}$时取等号,
∴|$\overrightarrow{AM}$|的最小值为$\sqrt{2}$,
故答案为:$\sqrt{2}$.
点评 本题考查平面向量数量积的运算、不等式求最值,注意不等式求最值时适用的条件,是中档题.
A. | 0.5 | B. | 1.5 | C. | 2.5 | D. | 3.5 |
A. | -2-6i | B. | -2+2i | C. | 4+2i | D. | 4-6i |
A. | $\frac{32}{3}$ | B. | $\frac{64}{3}$ | C. | $\frac{80}{3}$ | D. | $\frac{160}{3}$ |