Question

9．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示．
（1）求y的表达式．
（2）求函数的单调增区间与对称中心．

Answer 1

分析 （1）由图象可知A=2，$\frac{T}{2}=\;\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，再根据周期公式可得：ω=2，因为图象过点（ $\frac{π}{6}$，2），可得φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈z，再根据φ的范围求出φ的值，进而求出了函数的解析式得到答案．
（2）根据函数单调性和对称性进行求解即可．

解答 解：（1）由图象可知A=2，$\frac{T}{2}=\;\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$
所以T=π，所以ω=2，
所以y=3sin（2x+φ）．
又因为图象过点（ $\frac{π}{6}$，2），即sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
所以解得φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈z
因为$|φ|＜\frac{π}{2}$，
所以当k=0时，φ=$\frac{π}{6}$，
y的表达式为$y=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，即函数单调递增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，即函数单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即函数的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{2}$，0），k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的求解．根据条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．