Question

17．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，x轴是函数图象的一条切线．
（1）求a；
（2）已知x∈（0，+∞），求证：ln（$\frac{x+1}{x}$）＞$\frac{1}{x+1}$；
（3）已知：n∈N，n≥2，求证：lnn＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）由x轴是函数f（x）图象的一条切线，得0是函数f（x）的一个极小值，由导数可得x=a是函数的极小值点，则由f（a）=0求得a值；
（2）由（1）得：f（x）=lnx+$\frac{1}{x}-1$=$\frac{1-x}{x}$+lnx在（1，+∞）上为增函数，结合f（1）=0，得到lnx＞1-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上恒成立，以$\frac{x+1}{x}$替换x得答案；
（3）由lnx＞1-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上恒成立，得ln2＞$\frac{1}{2}$，ln$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{3}$，ln$\frac{4}{3}$＞$\frac{1}{4}$，…，ln$\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{n}$，累加得：ln2+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n}{n-1}$=lnn＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$．

解答 （1）解：由f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，得f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
∵x轴是函数f（x）图象的一条切线，
∴0是函数f（x）的一个极小值．
当a≤0时，f′（x）≥0，函数在定义域（0，+∞）上为增函数，无极值；
∴a＞0．
当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴x=a为函数的极小值点，则f（a）=$lna+\frac{a}{a}-1=0$，即a=1；
（2）证明：由（1）得：f（x）=lnx+$\frac{1}{x}-1$=$\frac{1-x}{x}$+lnx在（1，+∞）上为增函数，
又由f（1）=0，
故f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx＞0在（1，+∞）上恒成立，
即lnx＞$\frac{x-1}{x}$在（1，+∞）上恒成立，
∴lnx＞1-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上恒成立，
由x＞0，得$\frac{x+1}{x}＞1$，
∴$ln（\frac{x+1}{x}）＞1-\frac{1}{\frac{x+1}{x}}=1-\frac{x}{x+1}=\frac{1}{x+1}$；
（3）证明：∵lnx＞1-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上恒成立，
∴ln2＞$\frac{1}{2}$，
ln$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{3}$，
ln$\frac{4}{3}$＞$\frac{1}{4}$，
…，
ln$\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{n}$，
累加得：ln2+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n}{n-1}$=lnn＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了利用导数证明不等式的方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．