Question

7．在数列{a_n}中，a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=2n，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过对$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=2n变形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{2n-1}$，利用累乘法计算即得结论．

解答 解：∵$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=2n，
∴$\frac{1}{2n}$（a_n+1+a_n）=a_n+1-a_n，
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{2n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-1}{2n-3}$，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{2n-3}{2n-5}$，
…
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{3}$，
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{2n-1}{2n-3}$•$\frac{2n-3}{2n-5}$•…•$\frac{5}{3}$•$\frac{3}{1}$=2n-1，
∴a_n=2n-1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．