Question

6．给出下列命题，其中正确的为（　　）
①已知函数f（x）=lg（x-1），g（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{x+1}$，则f（$\sqrt{10}$+1）=$\frac{1}{2}$，g（f（11））=0；
②若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1{-x}^{2}}（-1≤x≤1）}\\{x+1（x＞1或x＜-1）}\end{array}\right.$，则f（-x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1{-x}^{2}}（-1≤x≤1）}\\{-x+1（x＞1或x＜-1）}\end{array}\right.$；
③若f（x）=2x²+x-1，则f（x+1）=2x²+3x；
④若f（$\sqrt{x}$-1）=x，则f（x）=（x+1）²（x≥-1）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据已知中函数f（x），g（x）的解析式，代入计算，可判断①；根据已知中函数f（x）的解析式，求出f（-x），可判断②；利用代入法，求出f（x+1）的解析式，可判断③；利用凑配法（或换元法）求出函数f（x）的解析式，可判断④．

解答 解：①∵函数f（x）=lg（x-1），g（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{x+1}$，
∴f（$\sqrt{10}$+1）=lg$\sqrt{10}$=$\frac{1}{2}$，g（f（11））=g（lg10）=g（1）=0，正确；
②若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1{-x}^{2}}（-1≤x≤1）}\\{x+1（x＞1或x＜-1）}\end{array}\right.$，则f（-x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1{-x}^{2}}（-1≤x≤1）}\\{-x+1（x＞1或x＜-1）}\end{array}\right.$，正确；
③若f（x）=2x²+x-1，则f（x+1）=2（x+1）²+（x+1）-1=2x²+5x+2，错误；
④若f（$\sqrt{x}$-1）=x=（$\sqrt{x}$-1）²+2（$\sqrt{x}$-1）+1=[（$\sqrt{x}$-1）+1]²，（$\sqrt{x}$-1≥-1）；
则f（x）=（x+1）²（x≥-1），正确，
即正确的命题为：①②④
故选：C

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数求值，函数的解析式，难度中档．