Question

3．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x铀正半轴为极轴，已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），射线$θ=φ，θ=φ+\frac{π}{4}，θ=φ-\frac{π}{4}$与曲线C₁交于（不包括极点O）三点A、B、C．
（Ⅰ）求曲线C₁化成直角坐标方程及直线l的普通方程，并求曲线C₁上的点到直线l的最小值．
（Ⅱ） 求证：$|{OB}|+|{OC}|=\sqrt{2}|{OA}|$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把曲线C₁化成直角坐标方程及直线l的普通方程，求出圆心到直线的距离d，d-r即为曲线C₁上的点到直线l的最小值；
（Ⅱ）设点A，B，C的极坐标分别为（ρ₁，φ），（ρ₂，φ+$\frac{π}{4}$），（ρ₃，φ-$\frac{π}{4}$），把三点代入曲线C₁解析式，表示出ρ₁=4cosφ，ρ₂=4cos（φ+$\frac{π}{4}$），ρ₃=4cos（φ-$\frac{π}{4}$），代入计算即可得证．

解答 （Ⅰ）解：把x=cosθ，y=sinθ，ρ=x²+y²代入得：C₁：x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4，
直线l方程化简得：$\frac{2}{\sqrt{3}}$y=2（x+2），即y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∵圆心（2，0）到直线l的距离d=$\frac{|4\sqrt{3}|}{2}$=2$\sqrt{3}$，
则曲线C₁上的点到直线l的最小值d-r=2$\sqrt{3}$-2；
（Ⅱ）证明：设点A，B，C的极坐标分别为（ρ₁，φ），（ρ₂，φ+$\frac{π}{4}$），（ρ₃，φ-$\frac{π}{4}$），
∵点A，B，C在曲线C₁上，
∴ρ₁=4cosφ，ρ₂=4cos（φ+$\frac{π}{4}$），ρ₃=4cos（φ-$\frac{π}{4}$），
∴|OB|+|OC|=ρ₂+ρ₃=4cos（φ+$\frac{π}{4}$）+4cos（φ-$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$cosφ=$\sqrt{2}$ρ₁，
则|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|．

点评 此题考查了参数方程化为普通方程，将参数方程正确的化为普通方程是解本题的关键．