题目内容
11.设函数f(logax)=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$(x-x-1),其中a>0且a≠1.(1)求f(x)及其单调性和奇偶性;
(2)当x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0恒成立,求m的取值范围;
(3)当x∈(-∞,2)时,f(x)-4的值恒为负数,求a的取值范围.
分析 (1)令t=logax,则x=at,用换元法求出f(x)的解析式,进而分析函数的单调性和奇偶性.
(2)将已知不等式转化为f(1-m)<f(m2-1),利用单调性进行求解;
(2)由(1)中的单调性可将f(x-4)的值恒为负数转化为f(2)-4≤0,解不等式即可.
解答 解:(1)令t=logax,则x=at,
则函数等价为f(t)=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$(at-a-t),
即f(x)=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$(ax-a-x),
则f(-x)=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$(a-x-ax)=-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$(ax-a-x)=-f(x),则函数为奇函数,
若a>1,则$\frac{a}{{a}^{2}-1}$>0,ax-a-x为增函数,则函数f(x)为增函数,
若0<a<1,则$\frac{a}{{a}^{2}-1}$<0,ax-a-x为减函数,则函数f(x)为增函数;
综上f(x)恒为增函数.
(2)当x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0恒成立,
则f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),
∵函数f(x)为增函数,
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1<1-m<1}\\{-1<{m}^{2}-1<1}\\{1-m<{m}^{2}-1}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{0<m<2}\\{0<{m}^{2}<2}\\{{m}^{2}+m-2>0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{0<m<2}\\{0<m<\sqrt{2}或-\sqrt{2}<m<0}\\{m>1或m<-2}\end{array}\right.$,
即1<m<$\sqrt{2}$,
(3)由(1)可知,f(x)为增函数,
则要使x∈(-∞,2),f(x)-4的值恒为负数,
只要f(2)-4<0即可,即f(2)=$\frac{a}{{a}^{2}-1}({a}^{2}-{a}^{-2})$=$\frac{a}{{a}^{2}-1}\frac{{a}^{4}-1}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}+1}{a}$<4,又a>0
解得$2-\sqrt{3}<a<2+\sqrt{3}$
又a≠1,可得符合条件的a的取值范围是(2-$\sqrt{3}$,1)∪(1,2+$\sqrt{3}$).
点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合运用,考查函数恒成立问题,利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.
A. | 有不相等的模 | B. | 不共线 | ||
C. | 不可能都是零向量 | D. | 不可能都是单位向量 |
A. | x+y-6=0 | B. | x-y+2=0 | C. | 2x-y=0 | D. | 2x+y-8=0 |