题目内容
19．已知x，y满足x2+y2-6x-8y+24≤0，求：（1）z=x+2y的最大值与最小值；
（2）z=$\frac{y}{x}$的最大值与最小值；
（3）z=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-2x}$的最小值．
分析 （1）x=z-2y，代入x2+y2-6x-8y+24=0，利用△=（4z-4）2-20（z2-6z+24）≥0，可求z=x+2y的最大值与最小值；
（2）z=$\frac{y}{x}$，则y=zx，代入x2+y2-6x-8y+24=0，利用△=（8z+6）2-96（1+z2）≥0，可得z=$\frac{y}{x}$的最大值与最小值；
（3）x2+y2-6x-8y+24=0，可化为（x-3）2+（y-4）2=49，圆心为（3，4），半径为7．z=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-2x}$，表示（x，y）与（1，0）的距离，即可求得z=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-2x}$的最小值．
解答 解：（1）x=z-2y，代入x2+y2-6x-8y+24=0，可得5y2-（4z-4）y+z2-6z+24=0，
∴△=（4z-4）2-20（z2-6z+24）≥0，
∴z2-22z+116≤0，
∴11-$\sqrt{5}$≤z≤11+$\sqrt{5}$，
∴z=x+2y的最大值是11+$\sqrt{5}$，最小值是11-$\sqrt{5}$；
（2）z=$\frac{y}{x}$，则y=zx，代入x2+y2-6x-8y+24=0，可得（1+z2）x2-（8z+6）x+24=0，
∴△=（8z+6）2-96（1+z2）≥0，
∴$\frac{6-\sqrt{6}}{4}$≤z≤$\frac{6+\sqrt{6}}{4}$，
∴z=$\frac{y}{x}$的最大值是$\frac{6+\sqrt{6}}{4}$，最小值是$\frac{6-\sqrt{6}}{4}$；
（3）x2+y2-6x-8y+24=0，可化为（x-3）2+（y-4）2=49，圆心为（3，4），半径为7．
z=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-2x}$，表示（x，y）与（1，0）的距离，（1，0）与圆心（3，4）的距离为2$\sqrt{5}$，
∴z=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-2x}$的最小值是7-2$\sqrt{5}$．
点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查判别式的运用，考查学生解不等式的能力，属于中档题．
