题目内容
6.在△ABC中,∠C=90°,M是BC边上一点,且CM=$\frac{1}{3}$CB,则sin∠BAM的最大值为$\frac{1}{2}$.分析 以CB,CA为x,y轴建立坐标系,设B(4a,0),A(0,b),求出$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$,利用数量积公式表示出cos∠BAM,利用基本不等式求出最小值,sin2∠BAM+cos2∠BAM=1,sin∠BAM≥0,求出sin∠BAM的最大值.
解答 解:以CB,CA为x,y轴建立坐标系,
设B(3a,0),A(0,b),
∵CM=$\frac{1}{3}$CB,
∴M(a,0),
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$=(a,-b)•(3a,-b)=3a2+b2,
∴cos∠BAM=$\frac{3{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}•\sqrt{9{a}^{2}+{b}^{2}}}$
=$\frac{3{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{(3{a}^{2}+{b}^{2})^{2}+4{a}^{2}{b}^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴cos∠BAM最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵sin2∠BAM+cos2∠BAM=1,sin∠BAM≥0,
∴sin∠BAM的最大值是为$\frac{1}{2}$.
故答案为:$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查通过建立坐标系解决sin∠BAM的最大值问题;利用基本不等式求最值,属于一道中档题.
练习册系列答案
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16.有一人在打靶中,连续射击3次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是( )
A. | 至多有一次中靶 | B. | 三次都中靶 | C. | 3次都不中靶 | D. | 只有一次中靶 |