题目内容
18．已知正数x，y满足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，则$\frac{4x}{x-1}$+$\frac{9y}{y-1}$的最小值为（ ）| A． | 26 | B． | 25 | C． | 24 | D． | 23 |
分析 由已知条件可得y=$\frac{x}{x-1}$，且x-1＞0，代入变形可得 $\frac{4x}{x-1}$+$\frac{9y}{y-1}$=13+$\frac{4}{x-1}$+9（x-1），由基本不等式可得．
解答 解：∵正数x，y满足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴y=$\frac{x}{x-1}$，∴x-1＞0，
∴$\frac{4x}{x-1}$+$\frac{9y}{y-1}$=$\frac{4x}{x-1}$+$\frac{\frac{9x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-1}$=$\frac{4x}{x-1}$+9x=$\frac{4（x-1）+4}{x-1}$+9（x-1）+9
=13+$\frac{4}{x-1}$+9（x-1）
≥13+2 $\sqrt{\frac{4}{x-1}•9（x-1）}$=25，
当且仅当$\frac{4}{x-1}$=9（x-1）即x=$\frac{5}{3}$时取等号，
∴$\frac{4x}{x-1}$+$\frac{9y}{y-1}$的最小值为：25，
故选：B．
点评 本题考查基本不等式求最值，消元并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．
练习册系列答案
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8．已知直线l的方程是y=k（x-1）-2，若点P（-3，0）在直线l上的射影为H，O为坐标原点，则|OH|的最大值是（ ）
| A． | 5+$\sqrt{2}$ | B． | 3+2$\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{3}+3\sqrt{2}$ |
如图，F1，F2为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，且|F1F2|=2．若双曲线C的右支上存在点P，使得PF1⊥PF2．设直线PF2与y轴交于点A，且△APF1的内切圆半径为$\frac{1}{2}$，则双曲线C的离心率为2．