题目内容
15.(1)当0≤x≤2时,不等式一1≤tx2-2x≤1恒成立,求证:1≤t≤3;(2)当0≤x≤2时,不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立,求实数t的取值范围.
分析 (1)当x=0时,显然成立;由题意可得$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$≤t≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$在(0,2]恒成立,运用二次函数的最值求法,即可得到t的范围,即可得证;
(2)当x=0时,显然成立;由题意可得$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$≤t≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$在(0,2]恒成立,运用二次函数的最值求法,即可得到t的范围.
解答 (1)证明:当0≤x≤2时,不等式一1≤tx2-2x≤1恒成立,
x=0时,-1<0<1成立;
即有$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$≤t≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$在(0,2]恒成立,
由$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$=-($\frac{1}{x}$-1)2+1,1>$\frac{1}{2}$,即有最大值为1,
则t≥1①
由$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$=($\frac{1}{x}$+1)2-1在[$\frac{1}{2}$,+∞)递增,
即有最小值为($\frac{1}{2}$+1)2-1=$\frac{5}{4}$,
则有t≤$\frac{5}{4}$②
由①②可得,1≤t≤$\frac{5}{4}$,
故1≤t≤3成立;
(2)解:当0≤x≤2时,不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立,
x=0时,-1<0<1成立;
即有$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$≤t≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$在(0,2]恒成立,
由$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$=-($\frac{1}{x}$-1)2+1,对称轴$\frac{1}{x}$=1>$\frac{1}{2}$,即有最大值为1,
则t≥1①
由$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$=($\frac{1}{x}$+1)2-1在[$\frac{1}{2}$,+∞)递增,
即有最小值为($\frac{1}{2}$+1)2-1=$\frac{5}{4}$,
则有t≤$\frac{5}{4}$②
由①②可得,1≤t≤$\frac{5}{4}$.
点评 本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离和函数的单调性,考查运算能力,属于中档题.
A. | (-1,2) | B. | (-1,2)∪(5,7) | C. | [5,7) | D. | (2,5] |