题目内容
【题目】如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,,.
(1)求证:平面BCD;
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;
(3)求点E到平面ACD的距离。
【答案】(1)见解析(2)(3)
【解析】
(1)连接OC,由BO=DO,AB=AD,知AO⊥BD,由BO=DO,BC=CD,知CO⊥BD.在△AOC中,由题设知,AC=2,故AO2+CO2=AC2,由此能够证明AO⊥平面BCD;
(2)取AC的中点M,连接OM、ME、OE,由E为BC的中点,知ME∥AB,OE∥DC,故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在△OME中,,由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦;
(3)设点E到平面ACD的距离为h.在△ACD中,,故,由AO=1,知,由此能求出点E到平面ACD的距离.
(1)证明:连接OC,∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD,
∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.
在△AOC中,由题设知,AC=2,
∴AO2+CO2=AC2,
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.
∵AO⊥BD,BD∩OC=O,
∴AO⊥平面BCD.
(2)解:取AC的中点M,连接OM、ME、OE,由E为BC的中点,
知ME∥AB,OE∥DC,
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.
在△OME中,,
∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线,∴,
∴,
∴异面直线AB与CD所成角大小的余弦为
(3)解:设点E到平面ACD的距离为h.
,
,
在△ACD中,,
∴,
∵AO=1,,
∴,
∴点E到平面ACD的距离为.
【题目】某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
昼夜温差 x (℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
就诊人数 y(个) | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
该兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.
(1)请根据2、3、4、5月的数据,求出y关于x的线性回归方程 ;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
(参考公式: , )
参考数据:11×25+13×29+12×26+8×16=1092,112+132+122+82=498.