题目内容
【题目】设函数,其中
,若存在唯一的整数
使得
,则
的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析:设g(x)=ex(2x﹣1),y=ax﹣a,问题转化为存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax﹣a的下方,求导数可得函数的极值,数形结合可得﹣a>g(0)=﹣1且g(﹣1)=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a,解关于a的不等式组可得.
详解:设g(x)=ex(2x﹣1),y=ax﹣a,
由题意知存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax﹣a的下方,
∵g′(x)=ex(2x﹣1)+2ex=ex(2x+1),
∴当x<﹣时,g′(x)<0,当x>﹣
时,g′(x)>0,
∴当x=﹣时,g(x)取最小值﹣2
,
当x=0时,g(0)=﹣1,当x=1时,g(1)=e>0,
直线y=ax﹣a恒过定点(1,0)且斜率为a,
故﹣a>g(0)=﹣1且g(﹣1)=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a,解得≤a<1
故选:D.

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