题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,其左、右焦点分别为
,点
是坐标平面内一点,且
,
(
为坐标原点).
(1)求椭圆的方程;
(2)过点且斜率为
的动直线
交椭圆于
两点,在
轴上是否存在定点
,使以
为直径的圆恒过该点?若存在,求出点
的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)点
的坐标为
.
【解析】试题分析:(1)设的坐标,利用
和
求得c,通过椭圆的离心率求得a,最后利用a,b和c的关系求出b,则椭圆的方程可得.
(2)设出直线l的方程,与椭圆方程联立消去y,设,
,则可根据韦达定理表示出
和
,假设在y轴上存在定点
,满足题设,则可表示出
,利用
,求出m的值
试题解析:(1)设,
,
,则由
,得
;
由得
,
即.
所以.
又因为,所以
.
因此所求椭圆的方程为: .
(2)设动直线的方程为:
,
由得
.
设,
,则
,
.
假设在轴上是否存在定点
,满足题设,则
,
.
由假设得对于任意的,
恒成立,
即解得
.
因此,在轴上存在定点
,使以
为直径的圆恒过该点,
点的坐标为
.
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