Question

【题目】某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此商品的年需求量为500台，销售的收入(单位：万元)函数为，其中是产品生产的数量(单位：百台)．

(1)求利润关于产量的函数．

(2)年产量是多少时，企业所得的利润最大？

Answer 1

【答案】（1）解：设年产量为，利润为

………………6分

（2）解：由（1）知时，………………8分

时，=………………10分

当时，

故年产量为475台时，工厂所得利润最大………………12分

【解析】

（1）由于商品年需求量为，故要对产量分成不大于和大于两段来求利润.当时，用收入减掉成本，即为利润的值.当时，成本和的表达式一样，但是销售收入是固定的，由此求得解析式.（2）两段函数，二次函数部分用对称轴求得其最大值，一次函数部分由于是递减的，在左端点有最值的上限.比较两段函数的最大值，来求得整个函数的最大值.

(1)当 0≤x≤5 时，产品能全部售出，

则成本为 0.25x＋0.5，收入为 5x－x2，

利润 f(x)＝5x－x2－0.25x－0.5

＝－x2＋4.75x－0.5.

当 x>5 时，只能销售 500台，

则成本为 0.25x＋0.5，销售收入为 5×5－×52＝，

利润 f(x)＝－0.25x－0.5＝－0.25x＋12.

综上，利润函数 f(x)＝

(2)当 0≤x≤5时，f(x)＝－ (x－4.75)2＋10.781 25，

当 x＝4.75∈[0,5]时，f(x)max＝10.781 25(万元)；

当 x>5 时，函数 f(x) 是递减函数，则 f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．

10．75<10.781 25.

综上，当年产量是 475台时，利润最大．