Question

【题目】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点．下列结论中，正确结论的序号是______．

①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；

②B1D1∥平面EFG；

③BD1⊥平面ACB1；

④异面直线EF与BD1所成角的正切值为；

⑤四面体ACB1D1的体积等于a3

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根据公理3，作截面可知①正确；根据直线与平面的位置关系可知②不正确；根据线面垂直的判定定理可知③正确；根据异面直线所成的角的定义求得异面直线EF与BD1的夹角的正切值为，可知④正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知⑤不正确．

解：延长EF分别与B1A1，B1B的延长线交于N，Q，连接GN交A1D1于H，

设HG与B1C1的延长线交于P，连接PQ交CC1于I，交BC于M，

连FH，HG，GI，IM，ME，则截面六边形EFHGIM为正六边形，故①正确；

B1D1与HG相交，故B1D1与平面 EFG相交，所以②不正确；

∵BD1⊥AC，BD1⊥B1C，且AC与B1C相交，所以BD1⊥平面ACB1，故③正确；

取的中点，连接，则，

所以就是异面直线EF与BD1的夹角，

设正方体的边长为，可得：,,,

所以是直接三角形.可得：.

可得异面直线EF与BD1的夹角的正切值为，故④正确；

四面体ACB1D1的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，

即为，故⑤不正确．

故答案为：①③④