题目内容
【题目】已知点F为抛物线C:x2=2py (p>0) 的焦点,点A(m,3)在抛物线C上,且|AF|=5,若点P是抛物线C上的一个动点,设点P到直线的距离为
,设点P到直线
的距离为
.
(1)求抛物线C的方程;
(2) 求的最小值;
(3)求的最小值.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)根据抛物线的定义,将的长度转化为
点纵坐标到准线的距离,从而得到
,求出抛物线方程.
(2)将抛物线上点的到直线的距离转化为直线与抛物线相切时,两平行线之间的距离.
(3)利用抛物线定义,将转化为
的长度,从而
的值等于焦点
到直线的距离,再求出其最小值.
(1)抛物线,
所以抛物线的准线为
由抛物线的定义得,,
解得,所以抛物线
的方程为
(2)设直线的平行线:
与抛物线
相切,
整理得
得
故所求的最小值为
(3)由直线是抛物线
的准线,
所以的最小值等于
到直线
的距离:
故所求的最小值为
.
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