题目内容

(选修4-4:坐标系与参数方程)
已知椭圆的长轴长为6,焦距F1F2=4
2
,过椭圆左焦点F1作一直线,交椭圆于两点M、N,设∠F2F1M=α(0≤α<π),当α为何值时,MN与椭圆短轴长相等?(用极坐标或参数方程方程求解)
分析:以椭圆焦点F1为极点,以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系,由已知条件可知椭圆的极坐标方程为 ρ=
ep
1-ecosθ
=
1
3-2
2
cosθ
|F1M|=ρ1=
1
3-2
2
cosα
.|F2N|=ρ2=
1
3+2
2
cosα

|MN|=ρ1+ρ2=
6
9-8cos2α
=2
.据此能够求出α的值.
解答:解:以椭圆焦点F1为极点,
以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系
由已知条件可知椭圆长半轴a=3,
半焦距c=2
2
,短半轴b=1,
离心率e=
2
2
3
,中心到准线距离=
9
2
4

焦点到准线距离p=
2
4

椭圆的极坐标方程为 ρ=
ep
1-ecosθ
=
1
3-2
2
cosθ

|F1M|=ρ1=
1
3-2
2
cosα
.|F2N|=ρ2=
1
3+2
2
cosα

|MN|=ρ1+ρ2=
6
9-8cos2α
=2

解得 cosα=±
2
2

α=
π
6
α=
6

以上解方程过程中的每一步都是可逆的,
所以当 α=
π
6
α=
6
时,|MN|等于短轴的长.
点评:本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
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