题目内容
(选修4-4:坐标系与参数方程)
已知椭圆的长轴长为6,焦距F1F2=4
,过椭圆左焦点F1作一直线,交椭圆于两点M、N,设∠F2F1M=α(0≤α<π),当α为何值时,MN与椭圆短轴长相等?(用极坐标或参数方程方程求解)
已知椭圆的长轴长为6,焦距F1F2=4
2 |
分析:以椭圆焦点F1为极点,以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系,由已知条件可知椭圆的极坐标方程为 ρ=
=
∴|F1M|=ρ1=
.|F2N|=ρ2=
,
|MN|=ρ1+ρ2=
=2.据此能够求出α的值.
ep |
1-ecosθ |
1 | ||
3-2
|
1 | ||
3-2
|
1 | ||
3+2
|
|MN|=ρ1+ρ2=
6 |
9-8cos2α |
解答:解:以椭圆焦点F1为极点,
以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系
由已知条件可知椭圆长半轴a=3,
半焦距c=2
,短半轴b=1,
离心率e=
,中心到准线距离=
,
焦点到准线距离p=
.
椭圆的极坐标方程为 ρ=
=
∴|F1M|=ρ1=
.|F2N|=ρ2=
,
|MN|=ρ1+ρ2=
=2.
解得 cosα=±
.
∴α=
或 α=
.
以上解方程过程中的每一步都是可逆的,
所以当 α=
或 α=
时,|MN|等于短轴的长.
以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系
由已知条件可知椭圆长半轴a=3,
半焦距c=2
2 |
离心率e=
2
| ||
3 |
9
| ||
4 |
焦点到准线距离p=
| ||
4 |
椭圆的极坐标方程为 ρ=
ep |
1-ecosθ |
1 | ||
3-2
|
∴|F1M|=ρ1=
1 | ||
3-2
|
1 | ||
3+2
|
|MN|=ρ1+ρ2=
6 |
9-8cos2α |
解得 cosα=±
| ||
2 |
∴α=
π |
6 |
5π |
6 |
以上解方程过程中的每一步都是可逆的,
所以当 α=
π |
6 |
5π |
6 |
点评:本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
练习册系列答案
相关题目