Question

设函数.
（1）若时，求处的切线方程；
（2）当时，，求的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）的取值范围是.

试题分析：本题考查函数与导数及运用导数求单调区间、最值等数学知识和方法，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问，将代入得到解析式，对求导，将代入得到切线的斜率，再将代入中得到切点的纵坐标，最后利用点斜式方程直接写出切线方程；第二问，将恒成立问题转化成函数的最小值问题，对求导，判断范围内的函数的单调性，判断出当时，，所以.
试题解析：(1)当，
，，，
故所求切线方程为：，
化简得：.(5分)
(2) ，，
化简得：，
设，
求导得：.
当时，；当时，.
故在单调减少，在单调增加．
故在时取极小值．
则在时，.
综上所述：，即的取值范围是．(13分)