Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，
PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的正切值；
（3）在PC上是否存在一点E，使得DE平面PAB？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：由题意，∵BCAD，∠DAB=90°，
∴BC⊥AB
∵PA⊥平面ABCD
∴BC⊥PA，
又PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB；
（2）解：延长BA、CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH
由（1）及ADBC知：AD⊥平面PAQ
∴AD⊥PQ且AH⊥PQ
所以PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD．
所以∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角
∵PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1
∴，
∴
∴
所以面PCD与面PAB所成二面角的正切值为
（3）解：存在．在BC上取一点F，使BF=1，则DFAB．
由条件知，PC=3，在PC上取点E，使PE=，则EFPB，
所以，平面EFD平面PAB，
因为DE平面EFD，
所以DE平面PAB