Question

3．已知函数f（x）=x²-ax，（a＞0），$g（x）=sinxsin（{x+\frac{π}{6}}）-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，命题p：a_n=f（n）是递增数列，命题q：g（x）在（a，π）上有且仅有2条对称轴．
①求g（x）的周期和单调递增区间；
②若p∧q为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 ①通过恒等变换整理g（x）的表达式，求出周期和单调区间即可；②分别求出p，q为真时的a的范围，取交集即可．

解答 解：①g（x）=sinx（sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin²x+$\frac{1}{2}$sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x
=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴T=π，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
∴g（x）的单调递增区间[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈z，
②p∧q为真∴p，q为真，
p：a_n+1-a_n=（n+1）²-a（n+1）-n²+an=2n+1-a＞0恒成立，
∴0＜a＜3，
q：g（x）的对称轴方程$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}⇒x=\frac{1}{2}kπ+\frac{5}{12}π$，
g（x）在（a，π）上有2条对称轴，
画数轴可得$a∈[{-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}）$，
∴$a∈（{0，\frac{5π}{12}}）$．

点评 本题考查了三角函数问题，考查函数恒成立问题，考查复合命题的判断，是一道中档题．