Question

1．已知sinθ+cosθ=-$\frac{1}{5}$（-$\frac{π}{2}$＜θ＜0），求下列各式的值：tanθ+cotθ，sin2θ，sinθ-cosθ，cos4θ

Answer 1

分析 把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinθcosθ的值，原式各项变形后代入计算即可求出值．

解答 解：把sinθ+cosθ=-$\frac{1}{5}$，两边平方得：（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，即sinθcosθ=-$\frac{12}{25}$，
则tanθ+cotθ=$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{sinθcosθ}$=$\frac{1}{-\frac{12}{25}}$=-$\frac{25}{12}$，sin2θ=2sinθcosθ=-$\frac{24}{25}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜θ＜0，
∴sinθ＜0，cosθ＞0，即sinθ-cosθ＜0，
∵（sinθ-cosθ）²=1-2sinθcosθ=$\frac{49}{25}$，
∴sinθ-cosθ=-$\frac{7}{5}$，
∴cos2θ=cos²θ-sin²θ=-（sinθ+cosθ）（sinθ-cosθ）=-$\frac{7}{25}$，
则cos4θ=2cos²2θ-1=2×$\frac{49}{625}$-1=-$\frac{527}{625}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．