Question

【题目】如图，在多面体中，平面平面，四边形是边长为的正方形，是等腰直角三角形，且，平面，．

（1）求异面直线和所成角的余弦值；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用面面垂直的性质定理证明出平面，然后以为坐标原点，为一组基底建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出异面直线和所成角的余弦值；

（2）求出平面和的法向量，然后利用空间向量法可求出二面角的余弦值．

（1），即，

因为平面平面，平面平面，平面，

平面，

由于四边形为边长为的正方形, 所以、、两两互相垂直．

以为坐标原点，为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.

平面且，

、、、、、，

，，则，

所以和所成角的余弦值为；

（2），，设平面的一个法向量为，

由，取，得，

平面的一个法向量为，，

由二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.