Question

7．在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A、B、C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ，使得$\overrightarrow{OC}$=λ•$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）•$\overrightarrow{OB}$成立，此时称实数λ为“向量$\overrightarrow{OC}$关于$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$的终点共线分解系数”．若已知P₁（3，1）、P₂（-1，3），P₁，P₂，P₃三点共线且向量$\overrightarrow{O{P}_{3}}$与向量$\overrightarrow{a}$=（1，-1）共线，则“向量$\overrightarrow{O{P}_{3}}$关于$\overrightarrow{O{P}_{1}}$和$\overrightarrow{O{P}_{2}}$的终点共线分解系数”为（　　）

• A． -3
• B． 3
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow{O{P}_{3}}$=（x，y），由于向量$\overrightarrow{O{P}_{3}}$与向量$\overrightarrow{a}$=（1，-1）共线，可得y+x=0．由于P₁，P₂，P₃三点共线，可得$\overrightarrow{O{P}_{3}}$=λ•$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+（1-λ）•$\overrightarrow{O{P}_{2}}$，即（x，y）=λ（3，1）+（1-λ）（-1，3），解出x，y代入即可得出．

解答 解：设向量$\overrightarrow{O{P}_{3}}$=（x，y），∵向量$\overrightarrow{O{P}_{3}}$与向量$\overrightarrow{a}$=（1，-1）共线，∴y+x=0．
∵P₁，P₂，P₃三点共线，
∴$\overrightarrow{O{P}_{3}}$=λ•$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+（1-λ）•$\overrightarrow{O{P}_{2}}$，
∴（x，y）=λ（3，1）+（1-λ）（-1，3），
∴x=3λ+λ-1=4λ-1，y=λ+3（1-λ）=3-2λ，
代入y+x=0，可得2λ+2=0，
解得λ=-1．
故选：D．

点评 本题考查了向量共线定理的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．