Question

2．求下列函数的定义域和值域．
（1）y=2^x+1
（2）y=$\sqrt{1-{2}^{x}}$
（3）y=2${\;}^{\sqrt{x}}$
（4）y=2${\;}^{{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）显然可看出定义域为R，值域为（0，+∞）；
（2）解1-2^x≥0即可得出该函数的定义域，由2^x＞0便可得出0≤1-2^x＜1，从而可得出y的范围，即该函数的值域；
（3）使该函数有意义，则x≥0，这便可得出定义域，而由$\sqrt{x}≥0$，便可得到${2}^{\sqrt{x}}≥1$，这便得出值域；
（4）定义域显然为R，根据x²的范围即可得出${2}^{{x}^{2}}$的范围，即得出该函数的值域．

解答 解：（1）定义域为R；
2^x+1＞0；
∴该函数的值域为（0，+∞）；
（2）解1-2^x≥0得，x≤0；
∴该函数定义域为（-∞，0]；
2^x＞0；
∴-2^x＜0；
∴0≤1-2^x＜1；
∴0≤y＜1；
∴该函数值域为[0，1）；
（3）定义域为[0，+∞）；
$\sqrt{x}≥0$；
∴${2}^{\sqrt{x}}≥1$；
∴该函数的值域为[1，+∞）；
（4）定义域为R；
x²≥0；
∴${2}^{{x}^{2}}≥1$；
∴该函数的值域为[1，+∞）．

点评 考查函数定义域、值域的概念及求法，指数函数的定义域、值域，及单调性，根据不等式的性质求值域，以及单调性的定义的运用．