题目内容
10．已知F1、F2是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，若△PF1F2的面积为9，则b的值为（ ）| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
分析 通过椭圆定义知PF1+PF2=2a，通过$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$可知（PF1）2+（PF2）2=（2c）2，利用△PF1F2的面积为9可得$\frac{1}{2}$•PF1•PF2=9，通过（PF1+PF2）2=（PF1）2+（PF2）2+2PF1•PF2代入计算即可．
解答 解：根据椭圆定义知PF1+PF2=2a，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴（PF1）2+（PF2）2=（2c）2，
又∵△PF1F2的面积为9，
∴$\frac{1}{2}$•PF1•PF2=9，
∴（2a）2=（PF1+PF2）2
=（PF1）2+（PF2）2+2PF1•PF2
=4c2+36，
∴b2=a2-c2=9，
∴b=3，
故选：C．
点评 本题考查椭圆定义、直角三角形的面积及勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
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5．设F1、F2，分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点M，使|OF1|=|OM|，O为坐标原点，且|MF1|=$\sqrt{2}$|MF2|，则该双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ | B． | $\sqrt{3}+1$ | C． | $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}$ | D． | $\sqrt{3}+\sqrt{6}$ |