Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=4，AB=4 ，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=2．

（1）求证：BD⊥PC；
（2）求证：MN∥平面PDC；
（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，

∴BM⊥AC，即BD⊥AC，

又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，

又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，

∴BD⊥PC．

（2）证明：在正△ABC中，BM=6，

在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD，

∠ADC=120°，∴DM=2，

∴ = ，

在Rt△PAB中，PA=4，AB=4 ，PB=8．

∴ = = ，∴MN∥PD，

又MN平面PDC，PD平面平面PDC，

∴MN∥平面PDC．

（3）解：∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，

∴AB⊥AD，以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

∴B（4 ，0，0），C（2 ，6，0），D（0，4，0），P（0，0，4），

=（2 ，6，﹣4）， =（4 ，0，﹣4），

由（2）知 =（4 ，﹣4，0）是平面PAC的法向量，

设平面PBC的一个法向量为 =（x，y，z），

则 ，即 ，取z=3，得 =（ ），

设二面角A﹣PC﹣B的平面角为θ，

则cosθ= = = ，

∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为 ．

【解析】（1）导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明BD⊥PC．（2）推导出DM⊥AC，AD=CD，DM=2， = ，从而MN∥PD，由此能证明MN∥平面PDC．（3）以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．