题目内容

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=4,AB=4 ,∠CDA=120°,点N在线段PB上,且PN=2.

(1)求证:BD⊥PC;
(2)求证:MN∥平面PDC;
(3)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.

【答案】
(1)证明:∵△ABC是正三角形,M是AC中点,

∴BM⊥AC,即BD⊥AC,

又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,

又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,

∴BD⊥PC.


(2)证明:在正△ABC中,BM=6,

在△ACD中,∵M为AC中点,DM⊥AC,∴AD=CD,

∠ADC=120°,∴DM=2,

=

在Rt△PAB中,PA=4,AB=4 ,PB=8.

= = ,∴MN∥PD,

又MN平面PDC,PD平面平面PDC,

∴MN∥平面PDC.


(3)解:∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,

∴AB⊥AD,以A为坐标原点,分别以AB、AD、AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,

∴B(4 ,0,0),C(2 ,6,0),D(0,4,0),P(0,0,4),

=(2 ,6,﹣4), =(4 ,0,﹣4),

由(2)知 =(4 ,﹣4,0)是平面PAC的法向量,

设平面PBC的一个法向量为 =(x,y,z),

,即 ,取z=3,得 =( ),

设二面角A﹣PC﹣B的平面角为θ,

则cosθ= = =

∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为


【解析】(1)导出BD⊥AC,PA⊥BD,从而BD⊥平面PAC,由此能证明BD⊥PC.(2)推导出DM⊥AC,AD=CD,DM=2, = ,从而MN∥PD,由此能证明MN∥平面PDC.(3)以A为坐标原点,分别以AB、AD、AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网