题目内容
【题目】已知函数f(x)=2 sin
cos
﹣2sin2
(ω>0)的最小正周期为3π.
(I)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,a<b<c, a=2csinA,并且f(
A+
)=
,求cosB的值.
【答案】解:(I)由三角函数公式化简可得
f(x)=2 sin
cos
﹣2sin2
= sinωx﹣1+cosωx
=2sin(ωx+ )﹣1,
∵函数f(x)的最小正周期为T=3π,
∴ω= =
=
,
∴f(x)=2sin( x+
)﹣1,
由2kπ﹣ ≤
x+
≤2kπ+
可得3kπ﹣π≤x≤3kπ+
,
∴函数f(x)的单调递增区间为[3kπ﹣π,3kπ+ ],k∈Z;
(Ⅱ)∵f( A+
)=
,∴2sin(A+
+
)﹣1=
,
∴2sin(A+ )﹣1=
,∴2cosA﹣1=
,
解得cosA= ,∴sinA=
=
,
再由 a=2csinA和正弦定理可得
sinA=2sinCsinA,
约掉sinA可得sinC= ,∴C=
或C=
,
又∵a<b<c,∴C为最大角,C= 矛盾,
故C= ,cosC=﹣
,
∴cosB=﹣cos(A+C)=sinAsinC﹣cosAcosC
= ﹣
=
【解析】(I)由三角函数公式化简可得f(x)=2sin(ωx+ )﹣1,由周期公式可得ω,解2kπ﹣
≤
x+
≤2kπ+
可得;(Ⅱ)由题意和已知数据可得cosA=
,进而可得sinA=
,再由
a=2csinA和正弦定理可得C=
,整体代入cosB=﹣cos(A+C)=sinAsinC﹣cosAcosC,计算可得.
【考点精析】利用正弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案,需要熟知正弦定理:.
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