题目内容

已知函数y=f(x)是偶函数,对于x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立.当x1、x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有>0,给出下列命题:
①f(3)=0;
②直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在[-9,-6]上为单调增函数;
④函数y=f(x)在[-9,9]上有4个零点.
其中正确的命题是________.(填序号)
①②④
令x=-3,得f(-3)=0,由y=f(x)是偶函数,所以f(3)=f(-3)=0,①正确;因为f(x+6)=f(x),所以y=f(x)是周期为6的函数,而偶函数图象关于y轴对称,所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,②正确;由题意知,y=f(x)在[0,3]上为单调增函数,所以在[-3,0]上为单调减函数,故y=f(x)在[-9,-6]上为单调减函数,③错误;由f(3)=f(-3)=0,知f(-9)=f(9)=0,所以函数y=f(x)在[-9,9]上有个零点,④正确.
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