题目内容

已知函数
(1)求函数的单调区间.
(2)若方程有4个不同的实根,求的范围?
(3)是否存在正数,使得关于的方程有两个不相等的实根?如果存在,求b满足的条件,如果不存在,说明理由.
(1)增区间为,减区间为;(2);(3)不存在,理由见详解.

试题分析:(1)首先求导函数,然后通过判断的符号可求得单调区间;(2)构造函数,然后利用导数研究函数的取值变化,确定图象的位置,由图象可直观得到函的取值范围;(3)
试题解析:(1)根据定义域后,求导得到
根据导数和0的关系得到在是函数的增区间;在是函数减区间.
(2)(2)令,求导得
里面有一个零点和两个断点,所以初步可以得到函数在区间单调增;在区间单调减.
从负半轴方向趋近于-1时,
从正半轴方向趋近于-1时,
而且时,
而且可以很容易得到,函数为偶函数,而且
另半边的图像就容易模拟得到了,所以有4个不同的实根,结合图像得到
(本题必须另半边如果不分析必须用奇偶性说明;而且必须说明在断点处的趋势,否则扣2到3分)
(3)结论:这样的正数不存在.
假设存在满足条件的,使得方程存在两个不相等的实根,然后代入方程,根据其结构利用第(1)问的结论判断出上的取值及单调性,然后结合假设导出矛盾,作出判断.
假设存在正数,使得方程存在两个不相等的实根,则

根据定义域知道都是正数.
根据第1问知道,当时,函数的最小值
所以
因为,等式两边同号,所以,所以
不妨设
由(1)(2)可得
所以
所以
因为很容易证明到函数为恒大于0且为减函数
所以(*)方程显然不成立,因为左边大于1,右边小于1.
所以原假设:存在正数,使得方程存在两个不相等的实根错误(本题其他证法,请酌情给分)
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