题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求函数的极值和单调区间;
(2)若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)取得极小值为,的单调递增区间为,单调递减区间为;
(2).
【解析】
(1)求函数的导数,令导数等于零,解方程,再求出函数的导数和驻点,然后列表讨论,求函数的单调区间和极值;
(2)若在区间上存在一点,使得成立,其充要条件是在区间上的最小值小于即可.利用导数研究函数在区间上的最小值,先求出导函数,然后讨论研究函数在上的单调性,将的极值点与区间的端点比较,确定其最小的极值点.
解:的定义域为,
因为,
(1)当时,,令,得,
又的定义域为,
,随的变化情况如下表:
1 | |||
0 | |||
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以时,取得极小值为.
的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)因为,且.
令,得,
若在区间上存在一点,使得成立,
其充要条件是在区间上的最小值小于0即可.
当,即时,对成立,
所以,在区间上单调递减,
故在区间上的最小值为,
由,得,即.
当,即时,
若,则对成立,
所以在区间上单调递减,
所以,在区间上的最小值为
,
显然,在区间上的最小值小于不成立.
若,即时,则有
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以在区间上的最小值为.
由,
得,解得,即.
综上,由可知符合题意.
【题目】对某种书籍每册的成本费(元)与印刷册数(千册)的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
4.83 | 4.22 | 0.3775 | 60.17 | 0.60 | -39.38 | 4.8 |
其中,.
为了预测印刷千册时每册的成本费,建立了两个回归模型:,.
(1)根据散点图,你认为选择哪个模型预测更可靠?(只选出模型即可)
(2)根据所给数据和(1)中的模型选择,求关于的回归方程,并预测印刷千册时每册的成本费.
附:对于一组数据,,…,,其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.