Question

【题目】对任意的x，y∈（0，+∞），不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，则正实数a的最大值是（ ）
A.
B.
C.e
D.2e

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设f（x）=ex+y﹣4+ex﹣y+4+6， 不等式4xlna≤ex+y﹣4+ex﹣y+4+6恒成立，即为不等式4xlna≤f（x）恒成立．
即有f（x）=ex（ey﹣4+e﹣（y﹣4））+6≥6+2ex（当且仅当y=0时，取等号），
由题意可得4xlna≤6+2ex﹣4 ，
即有2lna≤ 在x＞0时恒成立，
令g（x）= ，g′（x）= ，令g′（x）=0，即（x﹣1）ex﹣4=3，
令h（x）=（x﹣1）ex﹣4 ， （x＞0），h′（x）=xex﹣4＞0，
∵x＞0，ex﹣4＞0，
∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又∵h（4）=3，即有（x﹣1）ex﹣4=3的根为4，
∴当x＞4时g（x）递增，当0＜x＜4时g（x）递减，
∴当x=4时，g（x）取得最小值g（4）=1，
∴2lna1，lna ，
∴0＜a ，（当x=2，y=0时，a取得最大值 ），
故选A．