Question

【题目】已知函数f（x）=lnx，g（x）= x2﹣bx（b为常数）．
（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；
（2）若函数h（x）=f（x）+g（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；
（3）若b≥2，x1 ， x2∈[1，2]，且x1≠x2 ， 都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）=lnx，所以 ，因此f'（1）=1，

所以函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1，

由 得x2﹣2（b+1）x+2=0．

由△=4（b+1）2﹣8=0，得 ．

（还可以通过导数来求b）

（2）解：因为h（x）=f（x）+g（x）= （x＞0），

所以 ，

由题意知h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，

因为x＞0，设u（x）=x2﹣bx+1，因为u（0）=1＞0，

则只要 ，解得b＞2，

所以b的取值范围是（2，+∞）

（3）解：不妨设x1＞x2，

因为函数f（x）=lnx在区间[1，2]上是增函数，

所以f（x1）＞f（x2），

函数g（x）图象的对称轴为x=b，且b＞2．

当b≥2时，函数g（x）在区间[1，2]上是减函数，

所以g（x1）＜g（x2），

所以|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|，

等价于f（x1）﹣f（x2）＞g（x2）﹣g（x1），

即f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），

等价于h（x）=f（x）+g（x）= 在区间[1，2]上是增函数，

等价于 在区间[1，2]上恒成立，

等价于 在区间[1，2]上恒成立，所以b≤2，又b≥2，所以b=2

【解析】（1）求出函数的导数根据二次函数的性质求出b的值即可；（2）求出h（x）的导数，结合二次函数的性质得到关于b的不等式组，解出即可；（3）问题等价于f（x1）﹣f（x2）＞g（x2）﹣g（x1），即h（x）=f（x）+g（x）= 在区间[1，2]上是增函数，根据函数的单调性求出b的范围即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．