题目内容
【题目】若函数在
处取得极大值或极小值,则称
为函数
的极值点.
设函数,
.
(1)若有两个极值点
,且满足
,求
的值及
的取值范围;
(2)若在
处的切线与
的图象有且只有一个公共点,求
的值;
(3)若,且对满足“函数
与
的图象总有三个交点
”的任意实数
,都有
成立,求
满足的条件.
【答案】(1),
的取值范围为
或
;(2)
;(3)
应满足条件
且
.
【解析】
(1)f′(x)=3x2+2ax+b,由f(x)有两个极值点x1,x2,可得f′(x)=0有两个不等实数根x1,x2.则△>0,x1x2=1=,即可得出
的值及
的取值范围.(2)由k=f′(1)=3+2a+b,得切线方程为
,即x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=(3+2a+b)(x﹣1),整理可得:(x﹣1)2(x+a+2)=0,解出进而得出答案.(3)联立方程组
,由(2)可得:(x﹣1)[x2+(a+1)x+a+b+1﹣k]=0,方程必有一根x=1,因为函数g(x)与f(x)的图象总有三个交点.可得x2+(a+1)x+a+b+1﹣k=0,有两个不等实数根x1,x2.因为g(x)与f(x)的图象总有三个交点P,Q,R,且满足PQ=QR成立,可得三个根x1,x2,1满足2x1=x2+1,2x2=x1+1,x1+x2=2.由k为满足g(x)与f(x)有三个交点的任意实数.令k=a+b+1,则x2+(a+1)x=0,解得x1=0,x2=﹣a﹣1.分类讨论即可得出.
(1)由,因函数
有两个极值点
,
∴两个不等的实数根
,
∴=
,即
,又
,∴
,
或
.
此时
+ | 0 | 0 | + | ||
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
∴是极大值点,
是极小值点,满足题意.
(2)∵,∴
在
处的切线方程为
,
联立方程组,
即,
∴,
整理得,解得
或
,
∵切线与的图象只有一个公共点,∴
,解得
.
(3)联立方程组,
化简得,
∴方程必有一根,
∵函数与
的图象总有三个交点
,
∴有两个不等实根
,
且三个交点满足
,
∴实数根满足
,或
,或
,
∵为满足
与
有三个交点的任意实数,
令,则
,解得
,
①当时,得
,即有
,
此时,
再令,则
,解得
,
不满足与
,故不符题意;
②同理也不符题意;
③当时,由
,得
,
此时总满足
,
为此只需有两个不等的实根即可,
∴,化简得
,
综上所述,应满足条件
且
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,