题目内容

16.已知M是由所有满足下述条件的函数f(x)构成的集合:①方程f(x)-x=0有实数根;②设函数f(x)的导函数f′(x),且对f(x)定义域内任意的x,都有f′(x)>1.
(Ⅰ)判断函数f(x)=2x+sinx是否是集合M中的元素,并说明理由;
(Ⅱ)若函数g(x)=lnx+ax是集合M中的元素,求实数a的取值范围.

分析 (Ⅰ)先求出函数f(x)的导数,得到当cosx=-1时,f′(x)=1,不符合条件②,从而得出结论;
(Ⅱ)先求出函数g(x)的导数,通过讨论a的范围,结合新定义从而求出a的范围.

解答 解:(Ⅰ)∵f′(x)=2+cosx,当cosx=-1时,f′(x)=1,不符合条件②,
∴函数f(x)不是集合M中的元素;
(Ⅱ)∵g(x)是集合M中的元素,
∴g′(x)=$\frac{1}{x}$+a>1对于任意x>0均成立,
即a>1-$\frac{1}{x}$(x>0)恒成立,即a≥1,
令G(x)=g(x)-x=lnx+(a-1)x,
依题意g(x)是集合M中的元素,必满足a≥1,
当a≥1时,G′(x)=$\frac{1}{x}$+a-1>0对任意x>0恒成立,
∴G(x)在(0,+∞)递增,
又G(e-a)=lne-a+a•e-a-e-a=a(e-a-1)-e-a<0,
G(e)=1+(a-1)e>0,
∴方程G(x)=g(x)-x=0有实根,也符合条件①,
当a<1时,在x>$\frac{1}{1-a}$>0时,g′(x)=$\frac{1}{x}$+a<1与条件②矛盾,
综上,a≥1.

点评 本题考查了新定义问题,考查导数的应用、函数的单调性,是一道中档题.

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