Question

5．已知集合M={x|ax²+bx+c＞0，x∈R}，N={x|Ax²+Bx+C＞0，x∈R}（其中a，b，c，A，B，C均为非0实数）．试判断“$\frac{a}{A}$=$\frac{b}{B}$=$\frac{c}{C}$”是“M=N”的充分条件还是必要条件．

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．

解答 解：若$\frac{a}{A}$=$\frac{b}{B}$=$\frac{c}{C}$=m，（m≠0），
则a=mA，b=mB，c=mC，
∴不等式ax²+bx+c＞0等价为m（Ax²+Bx+C）＞0，
若m＞0，则m（Ax²+Bx+C）＞0，等价为Ax²+Bx+C＞0，此时两个不等式的解集相同，即M=N，
若m＜0，m（Ax²+Bx+C）＞0，等价为Ax²+Bx+C＜0，此时两个不等式的解集不相同．
若两个不等式的解集为∅时，则两个不等式的系数之间没有关系，
∴“$\frac{a}{A}$=$\frac{b}{B}$=$\frac{c}{C}$”是“M=N”的既不充分也不必要条件．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的解法与系数之间的关系是解决本题的关键，比较基础．