题目内容
【题目】如图，在四面体
中，
分别为
的中点，过
任作一个平面
分别与直线
相交于点
，则下列结论正确的是___________．①对于任意的平面，都有直线
，
，
相交于同一点；②存在一个平面
，使得点
在线段
上，点
在线段
的延长线上； ③对于任意的平面，都有
；④对于任意的平面，当在线段上时，几何体
的体积是一个定值.
【答案】③④
【解析】
当
分别为
中点时，可知三线互相平行，排除①；若三线相交，交点必在
上，可排除②；取
中点
，利用线面平行判定定理可证得
平面
，
平面，再结合
为
中点可得到平面的距离相等，进一步得到到直线
的距离相等，从而证得面积相等，③正确；首先通过临界状态
与
重合，
与
重合时，求得所求体积为四面体体积一半；当不位于临界状态时，根据③的结论可证得
，从而可知所求体积为四面体体积一半，进而可知为定值，④正确.
当分别为中点时，
，则①错误
若
三线相交，则交点
不存在在线段
上，在线段
延长线上的情况，则②错误
取中点，如图
所示：
分别为
中点 
又
平面，
平面 
平面
同理可得：平面
到平面的距离相等；
到平面的距离相等
又为中点 
到平面的距离相等
到平面的距离相等
连接
交于
，则为中点 到距离相等
，则③正确
当与重合，与重合时，此时几何体体积为三棱锥
的体积
为中点 三棱锥的体积为四面体
体积的一半
当如图
所示时，由③可知
又
为
中点 
到截面的距离相等 
综上所述，几何体
的体积为四面体体积的一半，为定值，则④正确
本题正确结果：③④
练习册系列答案
相关题目
