题目内容

【题目】设函数f(x)= (其中常数a>0,且a≠1).
(1)当a=10时,解关于x的方程f(x)=m(其中常数m>2 );
(2)若函数f(x)在(﹣∞,2]上的最小值是一个与a无关的常数,求实数a的取值范围.

【答案】
(1)解:f(x)=

①当x<0时,f(x)= >3.因为m>2

则当2 <m≤3时,方程f(x)=m无解;

当m>3,由10x= ,得x=lg

②当x≥0时,10x≥1.由f(x)=m得10x+ =m,

∴(10x2﹣m10x+2=0.

因为m>2 ,判别式△=m2﹣8>0,解得10x=

因为m>2 ,所以 >1.

所以由10x= ,解得x=lg

=1,得m=3.

所以当m>3时, = =1,

当2 <m≤3时, = =1,解得x=lg

综上,当m>3时,方程f(x)=m有两解x=lg 和x=lg

当2 <m≤3时,方程f(x)=m有两解x=lg


(2)解:①若0<a<1,

当x<0时,0<f(x)= <3;

当0≤x≤2时,f(x)=ax+

令t=ax,则t∈[a2,1],g(t)=t+ 在[a2,1]上单调递减,

所以当t=1,即x=0时f(x)取得最小值为3.

当t=a2时,f(x)取得最大值为

此时f(x)在(﹣∞,2]上的值域是(0, ],没有最小值.

②若a>1,

当x<0时,f(x)= >3;

当0≤x≤2时f(x)=ax+

令t=ax,g(t)=t+ ,则t∈[1,a2].

①若a2 ,g(t)=t+ 在[1,a2]上单调递减,

所以当t=a2即x=2时f(x)取最小值a2+ ,最小值与a有关;

②a2 ,g(t)=t+ 在[1, ]上单调递减,在[ ,a2]上单调递增,

所以当t= 即x=loga 时f(x)取最小值2 ,最小值与a无关.

综上所述,当a≥ 时,f(x)在(﹣∞,2]上的最小值与a无关.


【解析】(1)当a=10时,脱掉绝对值,写出f(x)的分段函数,根据分段函数在相应的区间所对应的解析式进行求解,(2)根据题意有,对a进行分类讨论,①a>1时,②0<a<1时,两种情况分析,每种情况下根据绝对值,再按照x≥0时,和-2≤x<0两种情况讨论,最后可得结论.

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