Question

7．已知函数f（x）=x²-2ax+1
（1）求函数在[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值；
（2）函数在[$\frac{1}{2}$，2]上恒有f（x）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将f（x）配方得：f（x）=（x-a）²+1-a²，所以对称轴是x=a，所以讨论对称轴x=a和区间[$\frac{1}{2}$，2]的关系，根据二次函数的单调性及顶点求出每种情况下的f（x）的最小值即可．
（2）函数在[$\frac{1}{2}$，2]上恒有f（x）＞0，则函数在[$\frac{1}{2}$，2]上恒有2a＜x+$\frac{1}{x}$，求出右边的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²；
①若a≥2，则函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]]上单调递减，所以f（x）的最小值为f（2）=5-4a；
②若$\frac{1}{2}$＜a＜2，f（x）的最小值为f（a）=1-a²；
③若a≤$\frac{1}{2}$，f（x）在$\frac{1}{2}$，2]]上单调递增，所以f（x）的最小值为f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2}$a．
（2）函数在[$\frac{1}{2}$，2]上恒有f（x）＞0，则函数在[$\frac{1}{2}$，2]上恒有2a＜x+$\frac{1}{x}$，
因为x∈[$\frac{1}{2}$，2]，所以x+$\frac{1}{x}$$∈[2，\frac{5}{2}$]，
所以2a＜2，
所以a＜1．

点评 本题考查恒成立问题，考查根据二次函数的单调性及取得顶点的情况求二次函数最值的方法，以及二次函数单调性和对称轴的关系．