题目内容
【题目】已知椭圆:的离心率为,椭圆的四个顶点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若是椭圆上的一点,过且斜率等于的直线与椭圆交于另一点,点关于原点的对称点为.求面积的最大值及取最大值时直线的方程.
【答案】(1);(2)取得最大值.此时直线的方程为
【解析】
(1)利用已知条件求出,,即可得到椭圆方程.
(2)设,,则,直线的斜率,利用点差法可得与的关系,求出,设方程为,联立直线与椭圆方程,列出韦达定理,表示出三角形的面积,即可计算面积最值.
解:(1)根据题意,椭圆:的离心率为,则有,
以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为,则有,
又,解得,.
故椭圆的方程为.
(2)设,,
则,直线的斜率,
由,两式相减,,
由直线,所以.
连结,因为,关于原点对称,所以,设方程为,
由,
整理得:,,得.
,,
.
所以当时,取得最大值.此时直线的方程为.
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