Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）若$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，且cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求sinA的值．
（2）若（b²+c²-a²）tanA=$\sqrt{2}$bc，求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用正弦定理得到$\frac{sinC}{sinA}=\sqrt{5}$，由cosC的值能求出sinC，由此能求出sinA．
（2）由已知条件利用余弦定理得tanA=$\frac{\sqrt{2}bc}{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2bc}{\sqrt{2}（{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{cosA}$，由此能求出sinA．

解答 解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，且cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{sinC}{sinA}=\sqrt{5}}\\{sinC=\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}}\end{array}\right.$，
解得sinA=$\frac{1}{5}$．
（2）∵（b²+c²-a²）tanA=$\sqrt{2}$bc，
∴tanA=$\frac{\sqrt{2}bc}{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2bc}{\sqrt{2}（{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{cosA}$，
∴$\frac{sinA}{cosA}=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{cosA}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查三角形内角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理和余弦定理的合理运用．